Résoudre cos60^circ/1+sin60^circ+1/tan30^circ

$$\frac { \cos 60 ^ { \circ } } { 1 + \sin 60 ^ { \circ } } + \frac { 1 } { \tan 30 ^ { \circ } }$$

Évaluer

$$2$$

Résumé des étapes de la solution

Obtenir la valeur de \cos(60) dans le tableau des valeurs trigonométriques.

$$\frac{\frac{1}{2}}{1+\sin(60)}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Obtenir la valeur de \sin(60) dans le tableau des valeurs trigonométriques.

$$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier 1 par \frac{2}{2}.

$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Étant donné que \frac{2}{2} et \frac{\sqrt{3}}{2} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Diviser \frac{1}{2} par \frac{2+\sqrt{3}}{2} en multipliant \frac{1}{2} par la réciproque de \frac{2+\sqrt{3}}{2}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{\tan(30)}$$

Obtenir la valeur de \tan(30) dans le tableau des valeurs trigonométriques.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$

Diviser 1 par \frac{\sqrt{3}}{3} en multipliant 1 par la réciproque de \frac{\sqrt{3}}{3}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3}{\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{3}{\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3\sqrt{3}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{3\sqrt{3}}{3}$$

Annuler 3 et 3.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\sqrt{3}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Multiplier \sqrt{3} par \frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}.

$$\frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Étant donné que \frac{2}{2\left(2+\sqrt{3}\right)} et \frac{\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{2+\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Effectuez les multiplications dans 2+\sqrt{3}\times 2\left(2+\sqrt{3}\right).

$$\frac{2+4\sqrt{3}+6}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Effectuer les calculs dans 2+4\sqrt{3}+6.

$$\frac{8+4\sqrt{3}}{2\left(2+\sqrt{3}\right)}$$

Étendre 2\left(2+\sqrt{3}\right).

$$\frac{8+4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{8+4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+4} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2\sqrt{3}-4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{\left(2\sqrt{3}+4\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}$$

Considérer \left(2\sqrt{3}+4\right)\left(2\sqrt{3}-4\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}-4^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{4\times 3-4^{2}}$$

Multiplier 4 et 3 pour obtenir 12.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{12-4^{2}}$$

Calculer 4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{12-16}$$

Soustraire 16 de 12 pour obtenir -4.

$$\frac{\left(8+4\sqrt{3}\right)\left(2\sqrt{3}-4\right)}{-4}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 8+4\sqrt{3} par 2\sqrt{3}-4 et combiner les termes semblables.

$$\frac{-32+8\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-4}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{-32+8\times 3}{-4}$$

Multiplier 8 et 3 pour obtenir 24.

$$\frac{-32+24}{-4}$$

Additionner -32 et 24 pour obtenir -8.

$$\frac{-8}{-4}$$

Diviser -8 par -4 pour obtenir 2.

$$2$$