Résoudre cosh

$$\cos h$$

Différencier w.r.t. h

$$-\sin(h)$$

Étapes d’utilisation de la définition d’une dérivée

Pour une fonction f\left(x\right), la dérivée est la limite de \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} car h passe à 0, si cette limite existe.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\cos(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h+t)-\cos(h)}{t}\right)$$

Utiliser la formule de somme pour le cosinus.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t+h)-\cos(h)}{t}$$

Exclure \cos(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\cos(h)\left(\cos(t)-1\right)-\sin(h)\sin(t)}{t}$$

Réécrire la limite.

$$\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Utiliser le fait que h est une constante lors du calcul des limites tandis que t passe à 0.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

La limite de \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} est 1.

$$\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h)$$

Pour évaluer la limite \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, commencez par multiplier le numérateur et le dénominateur par \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Multiplier \cos(t)+1 par \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Utiliser l’identité de Pythagore.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Réécrire la limite.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

La limite de \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} est 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Utiliser le fait que \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} est continu à 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Substituer la valeur 0 dans l’expression \cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)-\sin(h).

$$-\sin(h)$$

Évaluer

$$\cos(h)$$