Résoudre [2/3(x-3)]^2=16*7-x/2

$$[ \frac { 2 } { 3 } ( x - 3 ) ] ^ { 2 } = 16 \times \frac { 7 - x } { 2 }$$

Calculer x

$$x=3\sqrt{17}-6\approx 6,369316877$$

$$x=-3\sqrt{17}-6\approx -18,369316877$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier \frac{2}{3} par x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Soustraire 112 des deux côtés.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8-112=-16x$$

Soustraire 112 de 8 pour obtenir -104.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104=-16x$$

Ajouter 16x aux deux côtés.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x-104+16x=0$$

Combiner -\frac{16}{3}x et 16x pour obtenir \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x-104=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez \frac{8}{9} à a, \frac{32}{3} à b et -104 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\left(\frac{32}{3}\right)^{2}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Calculer le carré de \frac{32}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-4\times \frac{8}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplier -4 par \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024}{9}-\frac{32}{9}\left(-104\right)}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplier -\frac{32}{9} par -104.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{1024+3328}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Additionner \frac{1024}{9} et \frac{3328}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\sqrt{\frac{4352}{9}}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Extraire la racine carrée de \frac{4352}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{2\times \frac{8}{9}}$$

Multiplier 2 par \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} lorsque ± est positif. Additionner -\frac{32}{3} et \frac{16\sqrt{17}}{3}.

$$x=\frac{16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Diviser \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} par \frac{16}{9} en multipliant \frac{-32+16\sqrt{17}}{3} par la réciproque de \frac{16}{9}.

$$x=3\sqrt{17}-6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{32}{3}±\frac{16\sqrt{17}}{3}}{\frac{16}{9}} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{16\sqrt{17}}{3} à -\frac{32}{3}.

$$x=\frac{-16\sqrt{17}-32}{\frac{16}{9}\times 3}$$

Diviser \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} par \frac{16}{9} en multipliant \frac{-32-16\sqrt{17}}{3} par la réciproque de \frac{16}{9}.

$$x=-3\sqrt{17}-6$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$

Étapes de l’élévation au carré

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2\times \left(\frac{2}{3}\left(x-3\right)\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier \frac{2}{3} par x-3.

$$2\left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}=16\left(7-x\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\frac{2}{3}x-2\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4\right)=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{4}{9}x^{2}-\frac{8}{3}x+4.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=16\left(7-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 7-x.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8=112-16x$$

Ajouter 16x aux deux côtés.

$$\frac{8}{9}x^{2}-\frac{16}{3}x+8+16x=112$$

Combiner -\frac{16}{3}x et 16x pour obtenir \frac{32}{3}x.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x+8=112$$

Soustraire 8 des deux côtés.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=112-8$$

Soustraire 8 de 112 pour obtenir 104.

$$\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x=104$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{8}{9}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$\frac{\frac{8}{9}x^{2}+\frac{32}{3}x}{\frac{8}{9}}=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

La division par \frac{8}{9} annule la multiplication par \frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{\frac{32}{3}}{\frac{8}{9}}x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Diviser \frac{32}{3} par \frac{8}{9} en multipliant \frac{32}{3} par la réciproque de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=\frac{104}{\frac{8}{9}}$$

Diviser 104 par \frac{8}{9} en multipliant 104 par la réciproque de \frac{8}{9}.

$$x^{2}+12x=117$$

Divisez 12, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 6. Ajouter ensuite le carré de 6 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+12x+6^{2}=117+6^{2}$$

Calculer le carré de 6.

$$x^{2}+12x+36=117+36$$

Additionner 117 et 36.

$$x^{2}+12x+36=153$$

Factor x^{2}+12x+36. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=153$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{153}$$

Simplifier.

$$x+6=3\sqrt{17} x+6=-3\sqrt{17}$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$x=3\sqrt{17}-6 x=-3\sqrt{17}-6$$