Lutasin ang z^2-iz-1=0

$$z ^ { 2 } - i z - 1 = 0$$

I-solve ang z

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx 0.866025404+0.5i$$

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\approx -0.866025404+0.5i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -i para sa b, at -1 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{i±\sqrt{\left(-i\right)^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

I-square ang -i.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1-4\left(-1\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -1.

$$z=\frac{i±\sqrt{-1+4}}{2}$$

Idagdag ang -1 sa 4.

$$z=\frac{i±\sqrt{3}}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang i sa \sqrt{3}.

$$z=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

I-divide ang i+\sqrt{3} gamit ang 2.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Ngayon, lutasin ang equation na z=\frac{i±\sqrt{3}}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang \sqrt{3} mula sa i.

$$z=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$

I-divide ang i-\sqrt{3} gamit ang 2.

$$z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Nalutas na ang equation.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-iz-1=0$$

Idagdag ang 1 sa magkabilang dulo ng equation.

$$z^{2}-iz-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kapag na-subtract ang -1 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$z^{2}-iz=-\left(-1\right)$$

I-subtract ang -1 mula sa 0.

$$z^{2}-iz=1$$

I-divide ang -i, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{2}i. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{2}i sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$z^{2}-iz+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}i\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{2}i.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$$

Idagdag ang 1 sa -\frac{1}{4}.

$$z^{2}-iz-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

I-factor ang z^{2}-iz-\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}i\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Pasimplehin.

$$z-\frac{1}{2}i=\frac{\sqrt{3}}{2} z-\frac{1}{2}i=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2}i sa magkabilang dulo ng equation.

$$z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$