Lutasin ang {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$8x+2y=46$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x=-2y+46$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{8} times -2y+46.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

I-substitute ang \frac{-y+23}{4} para sa x sa kabilang equation na 7x+3y=47.

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

I-multiply ang 7 times \frac{-y+23}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

Idagdag ang -\frac{7y}{4} sa 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

I-subtract ang \frac{161}{4} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{5}{4}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{27}{5}$$

I-substitute ang \frac{27}{5} para sa y sa x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

I-multiply ang -\frac{1}{4} times \frac{27}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

Idagdag ang \frac{23}{4} sa -\frac{27}{20} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{22}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

Para gawing magkatumbas ang 8x at 7x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 7 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 8.

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

Pasimplehin.

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

I-subtract ang 56x+24y=376 mula sa 56x+14y=322 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

Idagdag ang 56x sa -56x. Naka-cancel out ang term na 56x at -56x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$14y-24y=322-376$$

Idagdag ang 14y sa -24y.

$$-10y=322-376$$

Idagdag ang 322 sa -376.

$$-10y=-54$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -10.

$$y=\frac{27}{5}$$

I-substitute ang \frac{27}{5} para sa y sa 7x+3y=47. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

I-multiply ang 3 times \frac{27}{5}.

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

I-subtract ang \frac{81}{5} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=\frac{154}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{22}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$