Lutasin ang y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

I-solve ang y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=5$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-x=-9$$

Idagdag ang x sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=x-9$$

I-substitute ang x-9 para sa y sa kabilang equation na y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Idagdag ang x sa x.

$$2x-9=5$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$2x=14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 2.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa y=x-9. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=7-9$$

Idagdag ang -9 sa 7.

$$y=-2$$

Nalutas na ang system.

$$y=-2,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=5$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-2,x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang x mula sa magkabilang dulo.

$$y-x=-9$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=5$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-x=-9,y+x=5$$

I-subtract ang y+x=5 mula sa y-x=-9 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-x-x=-9-5$$

Idagdag ang -x sa -x.

$$-2x=-9-5$$

Idagdag ang -9 sa -5.

$$-2x=-14$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -2.

$$x=7$$

I-substitute ang 7 para sa x sa y+x=5. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y+7=5$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-2$$

Nalutas na ang system.

$$y=-2,x=7$$