Lutasin ang y=-4x-7quadtext{b.}y=-x+2

$$y = - 4 x - 7 \quad \text { b. } y = - x + 2$$

I-solve ang y, x

$$x=-3$$

$$y=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=2$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y+4x=-7$$

I-subtract ang 4x mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-4x-7$$

I-substitute ang -4x-7 para sa y sa kabilang equation na y+x=2.

$$-4x-7+x=2$$

Idagdag ang -4x sa x.

$$-3x-7=2$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-3x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -3.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y=-4x-7. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=-4\left(-3\right)-7$$

I-multiply ang -4 times -3.

$$y=12-7$$

Idagdag ang -7 sa 12.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=2$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{4}{1-4}\\-\frac{1}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{4}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=5,x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. Idagdag ang 4x sa parehong bahagi.

$$y+4x=-7$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Idagdag ang x sa parehong bahagi.

$$y+x=2$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

I-subtract ang y+x=2 mula sa y+4x=-7 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y+4x-x=-7-2$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$4x-x=-7-2$$

Idagdag ang 4x sa -x.

$$3x=-7-2$$

Idagdag ang -7 sa -2.

$$3x=-9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$x=-3$$

I-substitute ang -3 para sa x sa y+x=2. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-3=2$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=5$$

Nalutas na ang system.

$$y=5,x=-3$$