Lutasin ang y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

I-solve ang y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa y sa pamamagitan ng pag-isolate sa y sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Idagdag ang \frac{4x}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

I-substitute ang \frac{-28+4x}{3} para sa y sa kabilang equation na y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Idagdag ang \frac{4x}{3} sa -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Idagdag ang \frac{28}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -\frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-26$$

I-substitute ang -26 para sa x sa y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

I-multiply ang \frac{4}{3} times -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Idagdag ang -\frac{28}{3} sa -\frac{104}{3} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y=-44$$

Nalutas na ang system.

$$y=-44,x=-26$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na y at x.

$$y=-44,x=-26$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang unang equation. I-subtract ang \frac{4}{3}x mula sa magkabilang dulo.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Isaalang-alang ang pangalawang equation. I-subtract ang 2x mula sa magkabilang dulo.

$$y-2x=8$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

I-subtract ang y-2x=8 mula sa y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Idagdag ang y sa -y. Naka-cancel out ang term na y at -y ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Idagdag ang -\frac{4x}{3} sa 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Idagdag ang -\frac{28}{3} sa -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{2}{3}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$x=-26$$

I-substitute ang -26 para sa x sa y-2x=8. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang y nang direkta.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

I-multiply ang -2 times -26.

$$y+52=8$$

I-subtract ang 52 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=-44$$

Nalutas na ang system.

$$y=-44,x=-26$$