Lutasin ang x^2-6x+11=0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 11 = 0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -6 para sa b, at 11 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

I-square ang -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Idagdag ang 36 sa -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Kunin ang square root ng -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -6 ay 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 6 sa 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

I-divide ang 6+2i\sqrt{2} gamit ang 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2i\sqrt{2} mula sa 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

I-divide ang 6-2i\sqrt{2} gamit ang 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Nalutas na ang equation.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

I-subtract ang 11 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Kapag na-subtract ang 11 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

I-divide ang -6, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -3. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -3 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

I-square ang -3.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Idagdag ang -11 sa 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

I-factor ang x^{2}-6x+9. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Pasimplehin.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$