Lutasin ang x^2-4x-21=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 21 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-3$$

$$x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-4x-21 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-4 ab=-21$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -21.

$$1,-21 3,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -4.

$$a=-7 b=3$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx-21. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-4 ab=1\left(-21\right)=-21$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -21.

$$1,-21 3,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-21=-20 3-7=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -4.

$$a=-7 b=3$$

I-rewrite ang x^{2}-4x-21 bilang \left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(3x-21\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

I-factor out ang common term na x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(x-7\right)\left(x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x+3=0.

$$x=7 x=-3$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -4 para sa b, at -21 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-21\right)}}{2}$$

I-square ang -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-21\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -21.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+84}}{2}$$

Idagdag ang 16 sa 84.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Kunin ang square root ng 100.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±10}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -4 ay 4.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{4±10}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 4 sa 10.

$$x=\frac{14}{2}$$

I-divide ang 14 gamit ang 2.

$$x=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{4±10}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 10 mula sa 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

I-divide ang -6 gamit ang 2.

$$x=-3$$

Nalutas na ang equation.

$$x=7 x=-3$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Idagdag ang 21 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-4x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Kapag na-subtract ang -21 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-21\right)$$

I-subtract ang -21 mula sa 0.

$$x^{2}-4x=21$$

I-divide ang -4, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -2. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -2 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

I-square ang -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Idagdag ang 21 sa 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

I-factor ang x^{2}-4x+4. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Pasimplehin.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=7 x=-3$$