Lutasin ang x^2-25x+144=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 144 = 0$$

I-solve ang x

$$x=9$$

$$x=16$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-25x+144 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-25 ab=144$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -25.

$$a=-16 b=-9$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-16=0 at x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+144. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -25.

$$a=-16 b=-9$$

I-rewrite ang x^{2}-25x+144 bilang \left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -9 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-16\right)-9\left(x-16\right)$$

I-factor out ang common term na x-16 gamit ang distributive property.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-16=0 at x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-25x+144=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -25 para sa b, at 144 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

I-square ang -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 144.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

Idagdag ang 625 sa -576.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -25 ay 25.

$$x=\frac{25±7}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{25±7}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 25 sa 7.

$$x=\frac{32}{2}$$

I-divide ang 32 gamit ang 2.

$$x=16$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{25±7}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa 25.

$$x=\frac{18}{2}$$

I-divide ang 18 gamit ang 2.

$$x=9$$

Nalutas na ang equation.

$$x=16 x=9$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x+144=0$$

I-subtract ang 144 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-25x+144-144=-144$$

Kapag na-subtract ang 144 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-25x=-144$$

I-divide ang -25, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{25}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{25}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{25}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

Idagdag ang -144 sa \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

I-factor ang x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

Idagdag ang \frac{25}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=16 x=9$$