Lutasin ang x^2-23x+112=0

$$x ^ { 2 } - 23 x + 112 = 0$$

I-solve ang x

$$x=7$$

$$x=16$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-23x+112 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-23 ab=112$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 112.

$$-1,-112 -2,-56 -4,-28 -7,-16 -8,-14$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-112=-113 -2-56=-58 -4-28=-32 -7-16=-23 -8-14=-22$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -23.

$$a=-16 b=-7$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-16\right)\left(x-7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-16=0 at x-7=0.

$$x=16 x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+112. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-23 ab=1\times 112=112$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 112.

$$-1,-112 -2,-56 -4,-28 -7,-16 -8,-14$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-112=-113 -2-56=-58 -4-28=-32 -7-16=-23 -8-14=-22$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -23.

$$a=-16 b=-7$$

I-rewrite ang x^{2}-23x+112 bilang \left(x^{2}-16x\right)+\left(-7x+112\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(-7x+112\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -7 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-16\right)-7\left(x-16\right)$$

I-factor out ang common term na x-16 gamit ang distributive property.

$$\left(x-16\right)\left(x-7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-16=0 at x-7=0.

$$x=16 x=7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-23x+112=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -23 para sa b, at 112 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 112}}{2}$$

I-square ang -23.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 112}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 112.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-448}}{2}$$

Idagdag ang 529 sa -448.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Kunin ang square root ng 81.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±9}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -23 ay 23.

$$x=\frac{23±9}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{23±9}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 23 sa 9.

$$x=\frac{32}{2}$$

I-divide ang 32 gamit ang 2.

$$x=16$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{23±9}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 9 mula sa 23.

$$x=\frac{14}{2}$$

I-divide ang 14 gamit ang 2.

$$x=7$$

Nalutas na ang equation.

$$x=16 x=7$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x+112=0$$

I-subtract ang 112 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-23x+112-112=-112$$

Kapag na-subtract ang 112 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-23x=-112$$

I-divide ang -23, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{23}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{23}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-112+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{23}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-112+\frac{529}{4}$$

Idagdag ang -112 sa \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{81}{4}$$

I-factor ang x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{9}{2}$$

Idagdag ang \frac{23}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=16 x=7$$