Lutasin ang x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

I-solve ang x

$$x=4$$

$$x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-11x+28 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=28$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-7 b=-4$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+28. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-7 b=-4$$

I-rewrite ang x^{2}-11x+28 bilang \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -4 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

I-factor out ang common term na x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -11 para sa b, at 28 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

I-square ang -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Idagdag ang 121 sa -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Kunin ang square root ng 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±3}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

I-divide ang 14 gamit ang 2.

$$x=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{11±3}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 3 mula sa 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

I-divide ang 8 gamit ang 2.

$$x=4$$

Nalutas na ang equation.

$$x=7 x=4$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

I-subtract ang 28 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Kapag na-subtract ang 28 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

I-divide ang -11, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Idagdag ang -28 sa \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

I-factor ang x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Idagdag ang \frac{11}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=7 x=4$$