Lutasin ang x^2-10x+9=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 9 = 0$$

I-solve ang x

$$x=1$$

$$x=9$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}-10x+9 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-10 ab=9$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -10.

$$a=-9 b=-1$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-9\right)\left(x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-9=0 at x-1=0.

$$x=9 x=1$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx+9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-10 ab=1\times 9=9$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -10.

$$a=-9 b=-1$$

I-rewrite ang x^{2}-10x+9 bilang \left(x^{2}-9x\right)+\left(-x+9\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-x+9\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-9\right)-\left(x-9\right)$$

I-factor out ang common term na x-9 gamit ang distributive property.

$$\left(x-9\right)\left(x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-9=0 at x-1=0.

$$x=9 x=1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}-10x+9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -10 para sa b, at 9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

I-square ang -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 9}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 9.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-36}}{2}$$

Idagdag ang 100 sa -36.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{64}}{2}$$

Kunin ang square root ng 64.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±8}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -10 ay 10.

$$x=\frac{10±8}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{10±8}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 10 sa 8.

$$x=\frac{18}{2}$$

I-divide ang 18 gamit ang 2.

$$x=9$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{10±8}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 8 mula sa 10.

$$x=\frac{2}{2}$$

I-divide ang 2 gamit ang 2.

$$x=1$$

Nalutas na ang equation.

$$x=9 x=1$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+9=0$$

I-subtract ang 9 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}-10x+9-9=-9$$

Kapag na-subtract ang 9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}-10x=-9$$

I-divide ang -10, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -5. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -5 sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-9+\left(-5\right)^{2}$$

I-square ang -5.

$$x^{2}-10x+25=-9+25$$

Idagdag ang -9 sa 25.

$$x^{2}-10x+25=16$$

I-factor ang x^{2}-10x+25. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=16$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Pasimplehin.

$$x-5=4 x-5=-4$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=9 x=1$$