Lutasin ang x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}+x-42 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=1 ab=-42$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 1.

$$a=-6 b=7$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx-42. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 1.

$$a=-6 b=7$$

I-rewrite ang x^{2}+x-42 bilang \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

I-factor out ang common term na x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-6=0 at x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}+x-42=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, 1 para sa b, at -42 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

I-square ang 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Idagdag ang 1 sa 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Kunin ang square root ng 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-1±13}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -1 sa 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

I-divide ang 12 gamit ang 2.

$$x=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-1±13}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 13 mula sa -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

I-divide ang -14 gamit ang 2.

$$x=-7$$

Nalutas na ang equation.

$$x=6 x=-7$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Idagdag ang 42 sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Kapag na-subtract ang -42 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

I-subtract ang -42 mula sa 0.

$$x^{2}+x=42$$

I-divide ang 1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang 42 sa \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

I-factor ang x^{2}+x+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

I-subtract ang \frac{1}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=6 x=-7$$