Lutasin ang x^2+5x=84

$$x ^ { 2 } + 5 x = 84$$

I-solve ang x

$$x=-12$$

$$x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

I-subtract ang 84 mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang x^{2}+5x-84 gamit ang formula na x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=5 ab=-84$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 5.

$$a=-7 b=12$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(x+a\right)\left(x+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 84 mula sa magkabilang dulo.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang x^{2}+ax+bx-84. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=5 ab=1\left(-84\right)=-84$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 5.

$$a=-7 b=12$$

I-rewrite ang x^{2}+5x-84 bilang \left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(12x-84\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 12 sa pangalawang grupo.

$$x\left(x-7\right)+12\left(x-7\right)$$

I-factor out ang common term na x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(x-7\right)\left(x+12\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at x+12=0.

$$x=7 x=-12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x^{2}+5x=84$$

I-subtract ang 84 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x^{2}+5x-84=84-84$$

Kapag na-subtract ang 84 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$x^{2}+5x-84=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, 5 para sa b, at -84 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-84\right)}}{2}$$

I-square ang 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-84\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -84.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+336}}{2}$$

Idagdag ang 25 sa 336.

$$x=\frac{-5±\sqrt{361}}{2}$$

Kunin ang square root ng 361.

$$x=\frac{-5±19}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-5±19}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -5 sa 19.

$$x=\frac{14}{2}$$

I-divide ang 14 gamit ang 2.

$$x=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-5±19}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 19 mula sa -5.

$$x=-\frac{24}{2}$$

I-divide ang -24 gamit ang 2.

$$x=-12$$

Nalutas na ang equation.

$$x=7 x=-12$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+5x=84$$

I-divide ang 5, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{5}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{5}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=84+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{5}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=84+\frac{25}{4}$$

Idagdag ang 84 sa \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{361}{4}$$

I-factor ang x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay isang perfect square, palaging maaari itong i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{19}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{19}{2}$$

I-subtract ang \frac{5}{2} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=7 x=-12$$