Lutasin ang x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$9x-2y=12$$

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$x+2y=12$$

I-subtract ang 2y mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-2y+12$$

I-substitute ang -2y+12 para sa x sa kabilang equation na 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

I-multiply ang 9 times -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Idagdag ang -18y sa -2y.

$$-20y+108=12$$

I-subtract ang 108 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$-20y=-96$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

I-substitute ang \frac{24}{5} para sa y sa x=-2y+12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

I-multiply ang -2 times \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Idagdag ang 12 sa -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$9x-2y=12$$

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Isaalang-alang ang pangalawang equation. Pagpalitin ang magkabilang panig para nasa kaliwang bahagi ang lahat ng variable na term.

$$9x-2y=12$$

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Para gawing magkatumbas ang x at 9x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 9 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Pasimplehin.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

I-subtract ang 9x-2y=12 mula sa 9x+18y=108 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Idagdag ang 9x sa -9x. Naka-cancel out ang term na 9x at -9x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$18y+2y=108-12$$

Idagdag ang 18y sa 2y.

$$20y=108-12$$

Idagdag ang 108 sa -12.

$$20y=96$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

I-substitute ang \frac{24}{5} para sa y sa 9x-2y=12. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

I-multiply ang -2 times \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Idagdag ang \frac{48}{5} sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x=\frac{108}{5}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$