Lutasin ang x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

I-solve ang x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 6x at 9x para makuha ang 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 15x at -2x para makuha ang 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Idagdag ang 3 at 4 para makuha ang 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

I-subtract ang 6x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Idagdag ang 12 sa parehong bahagi.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Idagdag ang 7 at 12 para makuha ang 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Isaayos ang polynomial para gawin itong standard form. Pagsunud-sunurin ang mga term mula sa pinakamalaki hanggang pinakamaliit na power.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang -6x^{2}+ax+bx+19. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 13.

$$a=19 b=-6$$

I-rewrite ang -6x^{2}+13x+19 bilang \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

I-factor out ang -x sa unang grupo at ang -1 sa pangalawang grupo.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

I-factor out ang common term na 6x-19 gamit ang distributive property.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 6x-19=0 at -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 6x at 9x para makuha ang 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 15x at -2x para makuha ang 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Idagdag ang 3 at 4 para makuha ang 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

I-subtract ang 6x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Idagdag ang 12 sa parehong bahagi.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Idagdag ang 7 at 12 para makuha ang 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang -6 para sa a, 13 para sa b, at 19 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

I-square ang 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

I-multiply ang -4 times -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

I-multiply ang 24 times 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Idagdag ang 169 sa 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Kunin ang square root ng 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

I-multiply ang 2 times -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±25}{-12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -13 sa 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

I-divide ang 12 gamit ang -12.

$$x=-1$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-13±25}{-12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 25 mula sa -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-38}{-12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Paramihin ang dalawang gilid ng equation nang 6, ang least common multiple ng 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang 3 gamit ang 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 6x at 9x para makuha ang 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Gamitin ang distributive property para i-multiply ang -2 gamit ang x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Pagsamahin ang 15x at -2x para makuha ang 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Idagdag ang 3 at 4 para makuha ang 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

I-subtract ang 6x^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

I-subtract ang 7 mula sa magkabilang dulo.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

I-subtract ang 7 mula sa -12 para makuha ang -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Kapag na-divide gamit ang -6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

I-divide ang 13 gamit ang -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

I-divide ang -19 gamit ang -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

I-divide ang -\frac{13}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{13}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{13}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{13}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Idagdag ang \frac{19}{6} sa \frac{169}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Idagdag ang \frac{13}{12} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$