Lutasin ang n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

I-solve ang n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang n^{2}-n-210 gamit ang formula na n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-15 b=14$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(n+a\right)\left(n+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-15=0 at n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang n^{2}+an+bn-210. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-15 b=14$$

I-rewrite ang n^{2}-n-210 bilang \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

I-factor out ang n sa unang grupo at ang 14 sa pangalawang grupo.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

I-factor out ang common term na n-15 gamit ang distributive property.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-15=0 at n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$n^{2}-n-210=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -1 para sa b, at -210 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Idagdag ang 1 sa 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Kunin ang square root ng 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{1±29}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

I-divide ang 30 gamit ang 2.

$$n=15$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{1±29}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 29 mula sa 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

I-divide ang -28 gamit ang 2.

$$n=-14$$

Nalutas na ang equation.

$$n=15 n=-14$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Idagdag ang 210 sa magkabilang dulo ng equation.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Kapag na-subtract ang -210 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

I-subtract ang -210 mula sa 0.

$$n^{2}-n=210$$

I-divide ang -1, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Idagdag ang 210 sa \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

I-factor ang n^{2}-n+\frac{1}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=15 n=-14$$