Lutasin ang n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

I-solve ang n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang n^{2}-11n-60 gamit ang formula na n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-15 b=4$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(n+a\right)\left(n+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-15=0 at n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang n^{2}+an+bn-60. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-15 b=4$$

I-rewrite ang n^{2}-11n-60 bilang \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

I-factor out ang n sa unang grupo at ang 4 sa pangalawang grupo.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

I-factor out ang common term na n-15 gamit ang distributive property.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang n-15=0 at n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -11 para sa b, at -60 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

I-square ang -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

I-multiply ang -4 times -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Idagdag ang 121 sa 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Kunin ang square root ng 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{11±19}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

I-divide ang 30 gamit ang 2.

$$n=15$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{11±19}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 19 mula sa 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

I-divide ang -8 gamit ang 2.

$$n=-4$$

Nalutas na ang equation.

$$n=15 n=-4$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Idagdag ang 60 sa magkabilang dulo ng equation.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Kapag na-subtract ang -60 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

I-subtract ang -60 mula sa 0.

$$n^{2}-11n=60$$

I-divide ang -11, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Idagdag ang 60 sa \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

I-factor ang n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Idagdag ang \frac{11}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=15 n=-4$$