Lutasin ang k^2-24k+144=0

$$k ^ { 2 } - 24 k + 144 = 0$$

I-solve ang k

$$k=12$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang k^{2}-24k+144 gamit ang formula na k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-24 ab=144$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -24.

$$a=-12 b=-12$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(k+a\right)\left(k+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(k-12\right)\left(k-12\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(k-12\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang k-12=0.

$$k=12$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang k^{2}+ak+bk+144. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-24 ab=1\times 144=144$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -24.

$$a=-12 b=-12$$

I-rewrite ang k^{2}-24k+144 bilang \left(k^{2}-12k\right)+\left(-12k+144\right).

$$\left(k^{2}-12k\right)+\left(-12k+144\right)$$

I-factor out ang k sa unang grupo at ang -12 sa pangalawang grupo.

$$k\left(k-12\right)-12\left(k-12\right)$$

I-factor out ang common term na k-12 gamit ang distributive property.

$$\left(k-12\right)\left(k-12\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(k-12\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang k-12=0.

$$k=12$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$k^{2}-24k+144=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -24 para sa b, at 144 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

I-square ang -24.

$$k=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 144}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 144.

$$k=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2}$$

Idagdag ang 576 sa -576.

$$k=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$k=-\frac{-24}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -24 ay 24.

$$k=\frac{24}{2}$$

I-divide ang 24 gamit ang 2.

$$k=12$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$k^{2}-24k+144=0$$

I-factor ang k^{2}-24k+144. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-12\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(k-12\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$k-12=0 k-12=0$$

Idagdag ang 12 sa magkabilang dulo ng equation.

$$k=12 k=12$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$k=12$$