Lutasin ang f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^3+2t^2+1)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 3 } + 2 t ^ { 2 } + 1 ) d t$$

I-evaluate

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

Mga Hakbang ng Solution

Suriin muna ang indefinite na integral.

$$\int t^{3}+2t^{2}+1\mathrm{d}t$$

I-integrate ang sum sa bawat term.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+\int 2t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

I-factor out ang constant sa bawat mga term.

$$\int t^{3}\mathrm{d}t+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Simula \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int t^{3}\mathrm{d}t ng \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{t^{4}}{4}+2\int t^{2}\mathrm{d}t+\int 1\mathrm{d}t$$

Simula \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} para sa k\neq -1, palitan ang \int t^{2}\mathrm{d}t ng \frac{t^{3}}{3}. I-multiply ang 2 times \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+\int 1\mathrm{d}t$$

Hanapin ang integral ng 1 gamit ang alituntunin ng talahanayan ng mga karaniwang integral \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{4}}{4}+\frac{2t^{3}}{3}+t$$

Ang definite integral ay ang antiderivative ng expression na na-evaluate sa upper limit ng integration minus ang antiderivative na na-evaluate sa lower limit ng integration.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2}{3}x^{3}+x-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{2}{3}\times 0^{3}+0\right)$$

Pasimplehin.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+x$$

I-differentiate ang w.r.t. x

$$x^{3}+2x^{2}+1$$