Lutasin ang b^2-11b+30=0

$$b ^ { 2 } - 11 b + 30 = 0$$

I-solve ang b

$$b=5$$

$$b=6$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring

Para i-solve ang equation, i-factor ang b^{2}-11b+30 gamit ang formula na b^{2}+\left(a+b\right)b+ab=\left(b+a\right)\left(b+b\right). Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=30$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-6 b=-5$$

I-rewrite ang naka-factor na expression na \left(b+a\right)\left(b+b\right) gamit ang mga nakuhang value.

$$\left(b-6\right)\left(b-5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang b-6=0 at b-5=0.

$$b=6 b=5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang b^{2}+ab+bb+30. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-11 ab=1\times 30=30$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -11.

$$a=-6 b=-5$$

I-rewrite ang b^{2}-11b+30 bilang \left(b^{2}-6b\right)+\left(-5b+30\right).

$$\left(b^{2}-6b\right)+\left(-5b+30\right)$$

I-factor out ang b sa unang grupo at ang -5 sa pangalawang grupo.

$$b\left(b-6\right)-5\left(b-6\right)$$

I-factor out ang common term na b-6 gamit ang distributive property.

$$\left(b-6\right)\left(b-5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang b-6=0 at b-5=0.

$$b=6 b=5$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$b^{2}-11b+30=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 1 para sa a, -11 para sa b, at 30 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

I-square ang -11.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 30}}{2}$$

I-multiply ang -4 times 30.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-120}}{2}$$

Idagdag ang 121 sa -120.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$b=\frac{-\left(-11\right)±1}{2}$$

Ang kabaliktaran ng -11 ay 11.

$$b=\frac{11±1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na b=\frac{11±1}{2} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 11 sa 1.

$$b=\frac{12}{2}$$

I-divide ang 12 gamit ang 2.

$$b=6$$

Ngayon, lutasin ang equation na b=\frac{11±1}{2} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa 11.

$$b=\frac{10}{2}$$

I-divide ang 10 gamit ang 2.

$$b=5$$

Nalutas na ang equation.

$$b=6 b=5$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$b^{2}-11b+30=0$$

I-subtract ang 30 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$b^{2}-11b+30-30=-30$$

Kapag na-subtract ang 30 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$b^{2}-11b=-30$$

I-divide ang -11, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{11}{2}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{11}{2} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$b^{2}-11b+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{11}{2} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$b^{2}-11b+\frac{121}{4}=-30+\frac{121}{4}$$

Idagdag ang -30 sa \frac{121}{4}.

$$b^{2}-11b+\frac{121}{4}=\frac{1}{4}$$

I-factor ang b^{2}-11b+\frac{121}{4}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Pasimplehin.

$$b-\frac{11}{2}=\frac{1}{2} b-\frac{11}{2}=-\frac{1}{2}$$

Idagdag ang \frac{11}{2} sa magkabilang dulo ng equation.

$$b=6 b=5$$