Lutasin ang 9x^2+42x+49=0

$$9 x ^ { 2 } + 42 x + 49 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 9x^{2}+ax+bx+49. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=42 ab=9\times 49=441$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 441.

$$1,441 3,147 7,63 9,49 21,21$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+441=442 3+147=150 7+63=70 9+49=58 21+21=42$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 42.

$$a=21 b=21$$

I-rewrite ang 9x^{2}+42x+49 bilang \left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(21x+49\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(3x+7\right)+7\left(3x+7\right)$$

I-factor out ang common term na 3x+7 gamit ang distributive property.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+7\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(3x+7\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 3x+7=0.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 9 para sa a, 42 para sa b, at 49 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

I-square ang 42.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -4 times 9.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -36 times 49.

$$x=\frac{-42±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

Idagdag ang 1764 sa -1764.

$$x=\frac{-42±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{42}{2\times 9}$$

I-multiply ang 2 times 9.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{-42}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+42x+49=0$$

I-subtract ang 49 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x^{2}+42x+49-49=-49$$

Kapag na-subtract ang 49 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$9x^{2}+42x=-49$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$\frac{9x^{2}+42x}{9}=-\frac{49}{9}$$

Kapag na-divide gamit ang 9, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 9.

$$x^{2}+\frac{42}{9}x=-\frac{49}{9}$$

Bawasan ang fraction \frac{42}{9} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=-\frac{49}{9}$$

I-divide ang \frac{14}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=-\frac{49}{9}+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{-49+49}{9}$$

Idagdag ang -\frac{49}{9} sa \frac{49}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=0$$

I-factor ang x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{3}=0 x+\frac{7}{3}=0$$

I-subtract ang \frac{7}{3} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{7}{3}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=-\frac{7}{3}$$