Lutasin ang 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

I-solve ang n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 3n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Pagsamahin ang 9n^{2} at -3n^{2} para makuha ang 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6n^{2}+an+bn+20. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -23.

$$a=-15 b=-8$$

I-rewrite ang 6n^{2}-23n+20 bilang \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

I-factor out ang 3n sa unang grupo at ang -4 sa pangalawang grupo.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

I-factor out ang common term na 2n-5 gamit ang distributive property.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2n-5=0 at 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

I-subtract ang 3n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Pagsamahin ang 9n^{2} at -3n^{2} para makuha ang 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, -23 para sa b, at 20 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

I-square ang -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 529 sa -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

Ang kabaliktaran ng -23 ay 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{23±7}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 23 sa 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{30}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{23±7}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{16}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

I-subtract ang 3n^{2} mula sa magkabilang dulo.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Pagsamahin ang 9n^{2} at -3n^{2} para makuha ang 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

I-subtract ang 20 mula sa magkabilang dulo. Magiging negative ang anumang isu-subtract sa zero.

$$6n^{2}-23n=-20$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-20}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

I-divide ang -\frac{23}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{23}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{23}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{23}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Idagdag ang -\frac{10}{3} sa \frac{529}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

I-factor ang n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Idagdag ang \frac{23}{12} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$