Lutasin ang 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

I-solve ang x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 9x^{2}+ax+bx+25. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, parehong negative ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -30.

$$a=-15 b=-15$$

I-rewrite ang 9x^{2}-30x+25 bilang \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang -5 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Para mahanap ang solution sa equation, i-solve ang 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 9 para sa a, -30 para sa b, at 25 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

I-square ang -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -4 times 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

I-multiply ang -36 times 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Idagdag ang 900 sa -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

Ang kabaliktaran ng -30 ay 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

I-multiply ang 2 times 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Bawasan ang fraction \frac{30}{18} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

I-subtract ang 25 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Kapag na-subtract ang 25 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Kapag na-divide gamit ang 9, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Bawasan ang fraction \frac{-30}{9} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

I-divide ang -\frac{10}{3}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{3}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{3} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{3} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Idagdag ang -\frac{25}{9} sa \frac{25}{9} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

I-factor ang x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Idagdag ang \frac{5}{3} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang equation. Mga solution ay pareho.

$$x=\frac{5}{3}$$