Lutasin ang 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

I-solve ang x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305+0.184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0.041239305-0.184427778i$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 84 para sa a, 4\sqrt{3} para sa b, at 3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

I-square ang 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

I-multiply ang -4 times 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

I-multiply ang -336 times 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Idagdag ang 48 sa -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Kunin ang square root ng -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

I-multiply ang 2 times 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -4\sqrt{3} sa 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

I-divide ang -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} gamit ang 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 8i\sqrt{15} mula sa -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

I-divide ang -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} gamit ang 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Kapag na-subtract ang 3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Kapag na-divide gamit ang 84, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

I-divide ang 4\sqrt{3} gamit ang 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Bawasan ang fraction \frac{-3}{84} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

I-divide ang \frac{\sqrt{3}}{21}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{\sqrt{3}}{42}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{\sqrt{3}}{42} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Idagdag ang -\frac{1}{28} sa \frac{1}{588} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

I-subtract ang \frac{\sqrt{3}}{42} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$