Lutasin ang 81x^2+180x+100

$$81 x ^ { 2 } + 180 x + 100$$

I-factor

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 81x^{2}+ax+bx+100. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=180 ab=81\times 100=8100$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 8100.

$$1,8100 2,4050 3,2700 4,2025 5,1620 6,1350 9,900 10,810 12,675 15,540 18,450 20,405 25,324 27,300 30,270 36,225 45,180 50,162 54,150 60,135 75,108 81,100 90,90$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+8100=8101 2+4050=4052 3+2700=2703 4+2025=2029 5+1620=1625 6+1350=1356 9+900=909 10+810=820 12+675=687 15+540=555 18+450=468 20+405=425 25+324=349 27+300=327 30+270=300 36+225=261 45+180=225 50+162=212 54+150=204 60+135=195 75+108=183 81+100=181 90+90=180$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 180.

$$a=90 b=90$$

I-rewrite ang 81x^{2}+180x+100 bilang \left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right).

$$\left(81x^{2}+90x\right)+\left(90x+100\right)$$

I-factor out ang 9x sa unang grupo at ang 10 sa pangalawang grupo.

$$9x\left(9x+10\right)+10\left(9x+10\right)$$

I-factor out ang common term na 9x+10 gamit ang distributive property.

$$\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Mga Hakbang Gamit ang Square Of Binomial

Ang trinomial na ito ay may anyo ng isang trinomial square, malamang ay na-multiply ito ng isang common factor. Maaaring i-factor ang mga trinomial square sa pamamagitan ng paghahanap ng mga square root ng mga nangunguna at nahuhuling term.

$$factor(81x^{2}+180x+100)$$

Hanapin ang greatest common factor ng mga coefficient.

$$gcf(81,180,100)=1$$

Hanapin ang square root ng leading term na 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Hanapin ang square root ng trailing term na 100.

$$\sqrt{100}=10$$

Ang trinomial square ay ang square ng binomial na sum o difference ng mga square root ng nangunguna at nahuhuling term, gamit ang sign na natukoy ng sign ng gitnang term ng trinomial square.

$$\left(9x+10\right)^{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+180x+100=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x=\frac{-180±\sqrt{180^{2}-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

I-square ang 180.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-4\times 81\times 100}}{2\times 81}$$

I-multiply ang -4 times 81.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-324\times 100}}{2\times 81}$$

I-multiply ang -324 times 100.

$$x=\frac{-180±\sqrt{32400-32400}}{2\times 81}$$

Idagdag ang 32400 sa -32400.

$$x=\frac{-180±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=\frac{-180±0}{2\times 81}$$

I-multiply ang 2 times 81.

$$x=\frac{-180±0}{162}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang -\frac{10}{9} sa x_{1} at ang -\frac{10}{9} sa x_{2}.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{10}{9}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$81x^{2}+180x+100=81\left(x+\frac{10}{9}\right)\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Idagdag ang \frac{10}{9} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\left(x+\frac{10}{9}\right)$$

Idagdag ang \frac{10}{9} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{9x+10}{9}\times \frac{9x+10}{9}$$

I-multiply ang \frac{9x+10}{9} times \frac{9x+10}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{9\times 9}$$

I-multiply ang 9 times 9.

$$81x^{2}+180x+100=81\times \frac{\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)}{81}$$

I-cancel out ang greatest common factor na 81 sa 81 at 81.

$$81x^{2}+180x+100=\left(9x+10\right)\left(9x+10\right)$$

I-evaluate

$$\left(9x+10\right)^{2}$$