Lutasin ang 81x^2+90x+25

$$81 { x }^{ 2 } +90x+25$$

I-factor

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 81x^{2}+ax+bx+25. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=90 ab=81\times 25=2025$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 2025.

$$1,2025 3,675 5,405 9,225 15,135 25,81 27,75 45,45$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+2025=2026 3+675=678 5+405=410 9+225=234 15+135=150 25+81=106 27+75=102 45+45=90$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 90.

$$a=45 b=45$$

I-rewrite ang 81x^{2}+90x+25 bilang \left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right).

$$\left(81x^{2}+45x\right)+\left(45x+25\right)$$

I-factor out ang 9x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$9x\left(9x+5\right)+5\left(9x+5\right)$$

I-factor out ang common term na 9x+5 gamit ang distributive property.

$$\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

Isulat ulit bilang binomial square.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Mga Hakbang Gamit ang Square Of Binomial

Ang trinomial na ito ay may anyo ng isang trinomial square, malamang ay na-multiply ito ng isang common factor. Maaaring i-factor ang mga trinomial square sa pamamagitan ng paghahanap ng mga square root ng mga nangunguna at nahuhuling term.

$$factor(81x^{2}+90x+25)$$

Hanapin ang greatest common factor ng mga coefficient.

$$gcf(81,90,25)=1$$

Hanapin ang square root ng leading term na 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Hanapin ang square root ng trailing term na 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Ang trinomial square ay ang square ng binomial na sum o difference ng mga square root ng nangunguna at nahuhuling term, gamit ang sign na natukoy ng sign ng gitnang term ng trinomial square.

$$\left(9x+5\right)^{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}+90x+25=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

I-square ang 90.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

I-multiply ang -4 times 81.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

I-multiply ang -324 times 25.

$$x=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Idagdag ang 8100 sa -8100.

$$x=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Kunin ang square root ng 0.

$$x=\frac{-90±0}{2\times 81}$$

I-multiply ang 2 times 81.

$$x=\frac{-90±0}{162}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang -\frac{5}{9} sa x_{1} at ang -\frac{5}{9} sa x_{2}.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{9}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$81x^{2}+90x+25=81\left(x+\frac{5}{9}\right)\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Idagdag ang \frac{5}{9} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\left(x+\frac{5}{9}\right)$$

Idagdag ang \frac{5}{9} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{9x+5}{9}\times \frac{9x+5}{9}$$

I-multiply ang \frac{9x+5}{9} times \frac{9x+5}{9} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{9\times 9}$$

I-multiply ang 9 times 9.

$$81x^{2}+90x+25=81\times \frac{\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)}{81}$$

I-cancel out ang greatest common factor na 81 sa 81 at 81.

$$81x^{2}+90x+25=\left(9x+5\right)\left(9x+5\right)$$

I-evaluate

$$\left(9x+5\right)^{2}$$