Lutasin ang 80x^2+23x-15

$$80 { x }^{ 2 } +23x-15$$

I-factor

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 80x^{2}+ax+bx-15. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=23 ab=80\left(-15\right)=-1200$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -1200.

$$-1,1200 -2,600 -3,400 -4,300 -5,240 -6,200 -8,150 -10,120 -12,100 -15,80 -16,75 -20,60 -24,50 -25,48 -30,40$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+1200=1199 -2+600=598 -3+400=397 -4+300=296 -5+240=235 -6+200=194 -8+150=142 -10+120=110 -12+100=88 -15+80=65 -16+75=59 -20+60=40 -24+50=26 -25+48=23 -30+40=10$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 23.

$$a=-25 b=48$$

I-rewrite ang 80x^{2}+23x-15 bilang \left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right).

$$\left(80x^{2}-25x\right)+\left(48x-15\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(16x-5\right)+3\left(16x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 16x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$80x^{2}+23x-15=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

I-square ang 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 80\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

I-multiply ang -4 times 80.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-320\left(-15\right)}}{2\times 80}$$

I-multiply ang -320 times -15.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+4800}}{2\times 80}$$

Idagdag ang 529 sa 4800.

$$x=\frac{-23±\sqrt{5329}}{2\times 80}$$

Kunin ang square root ng 5329.

$$x=\frac{-23±73}{2\times 80}$$

I-multiply ang 2 times 80.

$$x=\frac{-23±73}{160}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-23±73}{160} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -23 sa 73.

$$x=\frac{50}{160}$$

Bawasan ang fraction \frac{50}{160} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 10.

$$x=\frac{5}{16}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-23±73}{160} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 73 mula sa -23.

$$x=-\frac{96}{160}$$

Bawasan ang fraction \frac{-96}{160} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 32.

$$x=-\frac{3}{5}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang \frac{5}{16} sa x_{1} at ang -\frac{3}{5} sa x_{2}.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$80x^{2}+23x-15=80\left(x-\frac{5}{16}\right)\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

I-subtract ang \frac{5}{16} mula sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\left(x+\frac{3}{5}\right)$$

Idagdag ang \frac{3}{5} sa x sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{16x-5}{16}\times \frac{5x+3}{5}$$

I-multiply ang \frac{16x-5}{16} times \frac{5x+3}{5} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{16\times 5}$$

I-multiply ang 16 times 5.

$$80x^{2}+23x-15=80\times \frac{\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)}{80}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 80 sa 80 at 80.

$$80x^{2}+23x-15=\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$

I-evaluate

$$\left(16x-5\right)\left(5x+3\right)$$