Lutasin ang 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 8x^{2}+ax+bx-21. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 2.

$$a=-12 b=14$$

I-rewrite ang 8x^{2}+2x-21 bilang \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

I-factor out ang 4x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-3=0 at 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$8x^{2}+2x=21$$

I-subtract ang 21 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Kapag na-subtract ang 21 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 8 para sa a, 2 para sa b, at -21 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

I-square ang 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -4 times 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -32 times -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Idagdag ang 4 sa 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Kunin ang square root ng 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

I-multiply ang 2 times 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±26}{16} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -2 sa 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{24}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-2±26}{16} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 26 mula sa -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{-28}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Kapag na-divide gamit ang 8, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{2}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

I-divide ang \frac{1}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{1}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{1}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{1}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Idagdag ang \frac{21}{8} sa \frac{1}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

I-subtract ang \frac{1}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$