Lutasin ang 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 8x^{2}+ax+bx-7. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 10.

$$a=-4 b=14$$

I-rewrite ang 8x^{2}+10x-7 bilang \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

I-factor out ang 4x sa unang grupo at ang 7 sa pangalawang grupo.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-1=0 at 4x+7=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 8 para sa a, 10 para sa b, at -7 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

I-square ang 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -4 times 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -32 times -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Idagdag ang 100 sa 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Kunin ang square root ng 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

I-multiply ang 2 times 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-10±18}{16} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -10 sa 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{8}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-10±18}{16} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 18 mula sa -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{-28}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Idagdag ang 7 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Kapag na-subtract ang -7 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

I-subtract ang -7 mula sa 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Kapag na-divide gamit ang 8, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

I-divide ang \frac{5}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{5}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{5}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{5}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Idagdag ang \frac{7}{8} sa \frac{25}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

I-subtract ang \frac{5}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$