Lutasin ang 8n^2-106n-7500=0

$$8 n ^ { 2 } - 106 n - 7500 = 0$$

I-solve ang n

$$n = \frac{\sqrt{62809} + 53}{8} \approx 37.952154754$$

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}\approx -24.702154754$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 8 para sa a, -106 para sa b, at -7500 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{\left(-106\right)^{2}-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

I-square ang -106.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-4\times 8\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -4 times 8.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236-32\left(-7500\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -32 times -7500.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{11236+240000}}{2\times 8}$$

Idagdag ang 11236 sa 240000.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±\sqrt{251236}}{2\times 8}$$

Kunin ang square root ng 251236.

$$n=\frac{-\left(-106\right)±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

Ang kabaliktaran ng -106 ay 106.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{2\times 8}$$

I-multiply ang 2 times 8.

$$n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 106 sa 2\sqrt{62809}.

$$n=\frac{2\sqrt{62809}+106}{16}$$

I-divide ang 106+2\sqrt{62809} gamit ang 16.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8}$$

Ngayon, lutasin ang equation na n=\frac{106±2\sqrt{62809}}{16} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 2\sqrt{62809} mula sa 106.

$$n=\frac{106-2\sqrt{62809}}{16}$$

I-divide ang 106-2\sqrt{62809} gamit ang 16.

$$n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Nalutas na ang equation.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$8n^{2}-106n-7500=0$$

Idagdag ang 7500 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8n^{2}-106n-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Kapag na-subtract ang -7500 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$8n^{2}-106n=-\left(-7500\right)$$

I-subtract ang -7500 mula sa 0.

$$8n^{2}-106n=7500$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$\frac{8n^{2}-106n}{8}=\frac{7500}{8}$$

Kapag na-divide gamit ang 8, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 8.

$$n^{2}+\left(-\frac{106}{8}\right)n=\frac{7500}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{-106}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{7500}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{7500}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n=\frac{1875}{2}$$

I-divide ang -\frac{53}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{53}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{53}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{1875}{2}+\left(-\frac{53}{8}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{53}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{1875}{2}+\frac{2809}{64}$$

Idagdag ang \frac{1875}{2} sa \frac{2809}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}=\frac{62809}{64}$$

I-factor ang n^{2}-\frac{53}{4}n+\frac{2809}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}=\frac{62809}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(n-\frac{53}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{62809}{64}}$$

Pasimplehin.

$$n-\frac{53}{8}=\frac{\sqrt{62809}}{8} n-\frac{53}{8}=-\frac{\sqrt{62809}}{8}$$

Idagdag ang \frac{53}{8} sa magkabilang dulo ng equation.

$$n=\frac{\sqrt{62809}+53}{8} n=\frac{53-\sqrt{62809}}{8}$$