Lutasin ang 8x^2+6x-9=0

$$8 { x }^{ 2 } +6x-9 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 8x^{2}+ax+bx-9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=6 ab=8\left(-9\right)=-72$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 6.

$$a=-6 b=12$$

I-rewrite ang 8x^{2}+6x-9 bilang \left(8x^{2}-6x\right)+\left(12x-9\right).

$$\left(8x^{2}-6x\right)+\left(12x-9\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(4x-3\right)+3\left(4x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 4x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(4x-3\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 4x-3=0 at 2x+3=0.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$8x^{2}+6x-9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 8 para sa a, 6 para sa b, at -9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

I-square ang 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 8\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -4 times 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-32\left(-9\right)}}{2\times 8}$$

I-multiply ang -32 times -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 8}$$

Idagdag ang 36 sa 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Kunin ang square root ng 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 8}$$

I-multiply ang 2 times 8.

$$x=\frac{-6±18}{16}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-6±18}{16} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -6 sa 18.

$$x=\frac{12}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{12}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{3}{4}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-6±18}{16} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 18 mula sa -6.

$$x=-\frac{24}{16}$$

Bawasan ang fraction \frac{-24}{16} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 8.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+6x-9=0$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$8x^{2}+6x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kapag na-subtract ang -9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$8x^{2}+6x=-\left(-9\right)$$

I-subtract ang -9 mula sa 0.

$$8x^{2}+6x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 8.

$$\frac{8x^{2}+6x}{8}=\frac{9}{8}$$

Kapag na-divide gamit ang 8, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 8.

$$x^{2}+\frac{6}{8}x=\frac{9}{8}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{8} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{9}{8}$$

I-divide ang \frac{3}{4}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{3}{8}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{3}{8} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{9}{8}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{3}{8} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{9}{8}+\frac{9}{64}$$

Idagdag ang \frac{9}{8} sa \frac{9}{64} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{81}{64}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{9}{8}$$

I-subtract ang \frac{3}{8} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{3}{2}$$