Lutasin ang 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

I-factor

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Mga Hakbang ng Solution

I-factor ang expression ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang expression bilang 77r^{2}+ar+br-18. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 45.

$$a=-21 b=66$$

I-rewrite ang 77r^{2}+45r-18 bilang \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

I-factor out ang 7r sa unang grupo at ang 6 sa pangalawang grupo.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

I-factor out ang common term na 11r-3 gamit ang distributive property.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Maaaring i-factor ang quadratic polynomial gamit ang transformation na ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kung saan ang x_{1} at x_{2} ay ang mga solution ng quadratic equation na ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

I-square ang 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

I-multiply ang -4 times 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

I-multiply ang -308 times -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Idagdag ang 2025 sa 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Kunin ang square root ng 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

I-multiply ang 2 times 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Ngayon, lutasin ang equation na r=\frac{-45±87}{154} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -45 sa 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Bawasan ang fraction \frac{42}{154} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Ngayon, lutasin ang equation na r=\frac{-45±87}{154} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 87 mula sa -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Bawasan ang fraction \frac{-132}{154} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

I-factor ang orihinal na expression gamit ang ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). I-substitute ang \frac{3}{11} sa x_{1} at ang -\frac{6}{7} sa x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Pasimplehin ang lahat ng expression ng form na p-\left(-q\right) at gawing p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

I-subtract ang \frac{3}{11} mula sa r sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagsu-subtract sa mga numerator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Idagdag ang \frac{6}{7} sa r sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

I-multiply ang \frac{11r-3}{11} times \frac{7r+6}{7} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

I-multiply ang 11 times 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Kanselahin ang greatest common factor na 77 sa 77 at 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

I-evaluate

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$