Lutasin ang 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 15x^{2}+ax+bx-2. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=-3 b=10$$

I-rewrite ang 15x^{2}+7x-2 bilang \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 5x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 5x-1=0 at 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 75 para sa a, 35 para sa b, at -10 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

I-square ang 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

I-multiply ang -4 times 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

I-multiply ang -300 times -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Idagdag ang 1225 sa 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Kunin ang square root ng 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

I-multiply ang 2 times 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-35±65}{150} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -35 sa 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Bawasan ang fraction \frac{30}{150} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-35±65}{150} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 65 mula sa -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Bawasan ang fraction \frac{-100}{150} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Idagdag ang 10 sa magkabilang dulo ng equation.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Kapag na-subtract ang -10 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

I-subtract ang -10 mula sa 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Kapag na-divide gamit ang 75, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Bawasan ang fraction \frac{35}{75} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Bawasan ang fraction \frac{10}{75} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

I-divide ang \frac{7}{15}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{30}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{30} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{30} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Idagdag ang \frac{2}{15} sa \frac{49}{900} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

I-subtract ang \frac{7}{30} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$