Lutasin ang 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

I-solve ang x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1.689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0.655172414$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Substitution

Para mag-solve ng pares ng mga equation gamit ang substitution, i-solve muna ang isa sa mga equation para sa isa sa mga variable. Pagkatapos, i-substitute ang result para sa variable na iyon sa ibang equation.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Pumili ng isa sa mga equation at lutasin ito para sa x sa pamamagitan ng pag-isolate sa x sa kaliwang bahagi ng equal sign.

$$7x-15y-2=0$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x-15y=2$$

Idagdag ang 15y sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x=15y+2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

I-multiply ang \frac{1}{7} times 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

I-substitute ang \frac{15y+2}{7} para sa x sa kabilang equation na x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Idagdag ang \frac{15y}{7} sa 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

I-subtract ang \frac{2}{7} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang \frac{29}{7}, na katumbas ng pagmu-multiply sa magkabilang dulo ng reciprocal ng fraction.

$$y=\frac{19}{29}$$

I-substitute ang \frac{19}{29} para sa y sa x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

I-multiply ang \frac{15}{7} times \frac{19}{29} sa pamamagitan ng pagmu-multiply sa numerator times numerator at denominator times denominator. Pagkatapos, i-reduce ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Idagdag ang \frac{2}{7} sa \frac{285}{203} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x=\frac{49}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Mga Matrix

Ilagay ang mga equation sa standard form at pagkatapos ay gumamit ng mga matrix para i-solve ang system ng mga equation.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Isulat ang mga equation sa matrix form.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply sa kaliwa ang equation sa pamamagitan ng inverse matrix ng \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ang product ng isang matrix at ang inverse nito ay ang identity matrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix sa kaliwang panig ng equal sign.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Para sa 2\times 2 na matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ang inverse matrix ay \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kaya maaaring muling isulat ang equation ng matrix bilang problema sa multiplication ng matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

I-multiply ang mga matrix.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gumamit ka ng arithmetic.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

I-extract ang mga matrix element na x at y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Elimination

Para mag-solve gamit ang elimination, ang mga coefficient ng isa sa mga variable ay dapat na magkatulad sa dalawang equation nang sa gayon ay magka-cancel out ang variable kapag na-substract ang equation sa kabila.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Para gawing magkatumbas ang 7x at x, i-multiply ang lahat ng term sa magkabilang dulo ng unang equation gamit ang 1 at lahat ng term sa magkabilang dulo ng pangalawa gamit ang 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Pasimplehin.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

I-subtract ang 7x+14y=21 mula sa 7x-15y-2=0 sa pamamagitan ng pagsu-subtract ng mga katulad na term sa bawat dulo ng equal sign.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Idagdag ang 7x sa -7x. Naka-cancel out ang term na 7x at -7x ang isa\'t isa, at mag-iiwan ito ng equation na may isang variable lang na maaaring lutasin.

$$-15y-14y-2=-21$$

Idagdag ang -15y sa -14y.

$$-29y-2=-21$$

Idagdag ang 2 sa magkabilang dulo ng equation.

$$-29y=-19$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

I-substitute ang \frac{19}{29} para sa y sa x+2y=3. Dahil ang nagreresultang equation ay naglalaman lang ng isang variable, maaari mong i-solve ang x nang direkta.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

I-multiply ang 2 times \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

I-subtract ang \frac{38}{29} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{49}{29}$$

Nalutas na ang system.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$