Lutasin ang 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

$$x=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 7x^{2}+ax+bx-9. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -18.

$$a=-21 b=3$$

I-rewrite ang 7x^{2}-18x-9 bilang \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

I-factor out ang 7x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

I-factor out ang common term na x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-3=0 at 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 7 para sa a, -18 para sa b, at -9 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

I-square ang -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -4 times 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -28 times -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Idagdag ang 324 sa 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Kunin ang square root ng 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

Ang kabaliktaran ng -18 ay 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

I-multiply ang 2 times 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{18±24}{14} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 18 sa 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

I-divide ang 42 gamit ang 14.

$$x=3$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{18±24}{14} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 24 mula sa 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{14} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Idagdag ang 9 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Kapag na-subtract ang -9 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

I-subtract ang -9 mula sa 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Kapag na-divide gamit ang 7, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

I-divide ang -\frac{18}{7}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{9}{7}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{9}{7} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{9}{7} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Idagdag ang \frac{9}{7} sa \frac{81}{49} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Idagdag ang \frac{9}{7} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$