Lutasin ang 7x^2+11x-6=0

$$7 x ^ { 2 } + 11 x - 6 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-2$$

$$x=\frac{3}{7}\approx 0.428571429$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 7x^{2}+ax+bx-6. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=11 ab=7\left(-6\right)=-42$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 11.

$$a=-3 b=14$$

I-rewrite ang 7x^{2}+11x-6 bilang \left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right).

$$\left(7x^{2}-3x\right)+\left(14x-6\right)$$

I-factor out ang x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$x\left(7x-3\right)+2\left(7x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 7x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(7x-3\right)\left(x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 7x-3=0 at x+2=0.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 7 para sa a, 11 para sa b, at -6 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

I-square ang 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 7\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -4 times 7.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-28\left(-6\right)}}{2\times 7}$$

I-multiply ang -28 times -6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 7}$$

Idagdag ang 121 sa 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 7}$$

Kunin ang square root ng 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 7}$$

I-multiply ang 2 times 7.

$$x=\frac{-11±17}{14}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±17}{14} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -11 sa 17.

$$x=\frac{6}{14}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{14} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=\frac{3}{7}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±17}{14} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 17 mula sa -11.

$$x=-\frac{28}{14}$$

I-divide ang -28 gamit ang 14.

$$x=-2$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+11x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$7x^{2}+11x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kapag na-subtract ang -6 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$7x^{2}+11x=-\left(-6\right)$$

I-subtract ang -6 mula sa 0.

$$7x^{2}+11x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 7.

$$\frac{7x^{2}+11x}{7}=\frac{6}{7}$$

Kapag na-divide gamit ang 7, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 7.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x=\frac{6}{7}$$

I-divide ang \frac{11}{7}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{11}{14}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{11}{14} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{6}{7}+\left(\frac{11}{14}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{11}{14} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{6}{7}+\frac{121}{196}$$

Idagdag ang \frac{6}{7} sa \frac{121}{196} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}=\frac{289}{196}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{11}{7}x+\frac{121}{196}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}=\frac{289}{196}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{196}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{11}{14}=\frac{17}{14} x+\frac{11}{14}=-\frac{17}{14}$$

I-subtract ang \frac{11}{14} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{7} x=-2$$