Lutasin ang 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx-15. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-10 b=9$$

I-rewrite ang 6x^{2}-x-15 bilang \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-5 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-5=0 at 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}-x=15$$

I-subtract ang 15 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Kapag na-subtract ang 15 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, -1 para sa b, at -15 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 1 sa 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±19}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{20}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±19}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 19 mula sa 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{15}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

I-divide ang -\frac{1}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Idagdag ang \frac{5}{2} sa \frac{1}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Idagdag ang \frac{1}{12} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$