Lutasin ang 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx-3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -7.

$$a=-9 b=2$$

I-rewrite ang 6x^{2}-7x-3 bilang \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Ï-factor out ang 3x sa 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

I-factor out ang common term na 2x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-3=0 at 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, -7 para sa b, at -3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

I-square ang -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 49 sa 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Ang kabaliktaran ng -7 ay 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±11}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 7 sa 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{18}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{7±11}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 11 mula sa 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kapag na-subtract ang -3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

I-subtract ang -3 mula sa 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{3}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

I-divide ang -\frac{7}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{7}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{7}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{7}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Idagdag ang \frac{1}{2} sa \frac{49}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Idagdag ang \frac{7}{12} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$