Lutasin ang 6x^2-5x-6=0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx-6. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -5.

$$a=-9 b=4$$

I-rewrite ang 6x^{2}-5x-6 bilang \left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-3 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-3=0 at 3x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, -5 para sa b, at -6 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

I-square ang -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 25 sa 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 6}$$

Ang kabaliktaran ng -5 ay 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{5±13}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±13}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 5 sa 13.

$$x=\frac{18}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{18}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±13}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 13 mula sa 5.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-8}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Idagdag ang 6 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kapag na-subtract ang -6 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

I-subtract ang -6 mula sa 0.

$$6x^{2}-5x=6$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

I-divide ang 6 gamit ang 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=1$$

I-divide ang -\frac{5}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Idagdag ang 1 sa \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Idagdag ang \frac{5}{12} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$