Lutasin ang 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx+2. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=3 b=4$$

I-rewrite ang 6x^{2}+7x+2 bilang \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 2 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

I-factor out ang common term na 2x+1 gamit ang distributive property.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x+1=0 at 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, 7 para sa b, at 2 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

I-square ang 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 49 sa -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 1.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±1}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -7 sa 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-6}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±1}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 1 mula sa -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-8}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

I-subtract ang 2 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Kapag na-subtract ang 2 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-2}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

I-divide ang \frac{7}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Idagdag ang -\frac{1}{3} sa \frac{49}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

I-subtract ang \frac{7}{12} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$