Lutasin ang 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx-5. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, mas malaki ang absolute value ng positive na numero kaysa sa negative. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 7.

$$a=-3 b=10$$

I-rewrite ang 6x^{2}+7x-5 bilang \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

I-factor out ang 3x sa unang grupo at ang 5 sa pangalawang grupo.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 2x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 2x-1=0 at 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, 7 para sa b, at -5 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

I-square ang 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 49 sa 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±13}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -7 sa 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{6}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-7±13}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 13 mula sa -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-20}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Idagdag ang 5 sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Kapag na-subtract ang -5 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

I-subtract ang -5 mula sa 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

I-divide ang \frac{7}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{7}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{7}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{7}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Idagdag ang \frac{5}{6} sa \frac{49}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

I-subtract ang \frac{7}{12} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$