Lutasin ang 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 6x^{2}+ax+bx+3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Dahil positive ang ab, magkapareho ang mga sign ng a at b. Dahil positive ang a+b, parehong positive ang a at b. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Ang solution ay ang pair na may sum na 11.

$$a=2 b=9$$

I-rewrite ang 6x^{2}+11x+3 bilang \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

I-factor out ang 2x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x+1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x+1=0 at 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 6 para sa a, 11 para sa b, at 3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

I-square ang 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -4 times 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

I-multiply ang -24 times 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Idagdag ang 121 sa -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Kunin ang square root ng 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

I-multiply ang 2 times 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±7}{12} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang -11 sa 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-4}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{-11±7}{12} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 7 mula sa -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{12} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

I-subtract ang 3 mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Kapag na-subtract ang 3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Kapag na-divide gamit ang 6, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Bawasan ang fraction \frac{-3}{6} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

I-divide ang \frac{11}{6}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang \frac{11}{12}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng \frac{11}{12} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

I-square ang \frac{11}{12} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Idagdag ang -\frac{1}{2} sa \frac{121}{144} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

I-factor ang x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Pasimplehin.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

I-subtract ang \frac{11}{12} mula sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$