Lutasin ang 5y^2-3y-36=0

$$5 y ^ { 2 } - 3 y - 36 = 0$$

I-solve ang y

$$y = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2.4$$

$$y=3$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 5y^{2}+ay+by-36. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-3 ab=5\left(-36\right)=-180$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -3.

$$a=-15 b=12$$

I-rewrite ang 5y^{2}-3y-36 bilang \left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right).

$$\left(5y^{2}-15y\right)+\left(12y-36\right)$$

I-factor out ang 5y sa unang grupo at ang 12 sa pangalawang grupo.

$$5y\left(y-3\right)+12\left(y-3\right)$$

I-factor out ang common term na y-3 gamit ang distributive property.

$$\left(y-3\right)\left(5y+12\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang y-3=0 at 5y+12=0.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 5 para sa a, -3 para sa b, at -36 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

I-square ang -3.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -4 times 5.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20\left(-36\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -20 times -36.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2\times 5}$$

Idagdag ang 9 sa 720.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2\times 5}$$

Kunin ang square root ng 729.

$$y=\frac{-\left(-3\right)±27}{2\times 5}$$

Ang kabaliktaran ng -3 ay 3.

$$y=\frac{3±27}{2\times 5}$$

I-multiply ang 2 times 5.

$$y=\frac{3±27}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{3±27}{10} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 3 sa 27.

$$y=\frac{30}{10}$$

I-divide ang 30 gamit ang 10.

$$y=3$$

Ngayon, lutasin ang equation na y=\frac{3±27}{10} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 27 mula sa 3.

$$y=-\frac{24}{10}$$

Bawasan ang fraction \frac{-24}{10} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$y=-\frac{12}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-3y-36=0$$

Idagdag ang 36 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5y^{2}-3y-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

Kapag na-subtract ang -36 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$5y^{2}-3y=-\left(-36\right)$$

I-subtract ang -36 mula sa 0.

$$5y^{2}-3y=36$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$\frac{5y^{2}-3y}{5}=\frac{36}{5}$$

Kapag na-divide gamit ang 5, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 5.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y=\frac{36}{5}$$

I-divide ang -\frac{3}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{3}{10}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{3}{10} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{36}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{3}{10} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{36}{5}+\frac{9}{100}$$

Idagdag ang \frac{36}{5} sa \frac{9}{100} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}=\frac{729}{100}$$

I-factor ang y^{2}-\frac{3}{5}y+\frac{9}{100}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{729}{100}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{100}}$$

Pasimplehin.

$$y-\frac{3}{10}=\frac{27}{10} y-\frac{3}{10}=-\frac{27}{10}$$

Idagdag ang \frac{3}{10} sa magkabilang dulo ng equation.

$$y=3 y=-\frac{12}{5}$$