Lutasin ang 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20.8$$

$$x=21$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 5x^{2}+ax+bx-2184. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -1.

$$a=-105 b=104$$

I-rewrite ang 5x^{2}-x-2184 bilang \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang 104 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

I-factor out ang common term na x-21 gamit ang distributive property.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-21=0 at 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 5 para sa a, -1 para sa b, at -2184 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -4 times 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -20 times -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Idagdag ang 1 sa 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Kunin ang square root ng 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Ang kabaliktaran ng -1 ay 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

I-multiply ang 2 times 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±209}{10} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 1 sa 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

I-divide ang 210 gamit ang 10.

$$x=21$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{1±209}{10} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 209 mula sa 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Bawasan ang fraction \frac{-208}{10} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Idagdag ang 2184 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Kapag na-subtract ang -2184 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

I-subtract ang -2184 mula sa 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Kapag na-divide gamit ang 5, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

I-divide ang -\frac{1}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{1}{10}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{1}{10} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{1}{10} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Idagdag ang \frac{2184}{5} sa \frac{1}{100} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Idagdag ang \frac{1}{10} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$