Lutasin ang 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

I-solve ang x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

$$x=7$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 5x^{2}+ax+bx-42. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -29.

$$a=-35 b=6$$

I-rewrite ang 5x^{2}-29x-42 bilang \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

I-factor out ang 5x sa unang grupo at ang 6 sa pangalawang grupo.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

I-factor out ang common term na x-7 gamit ang distributive property.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang x-7=0 at 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 5 para sa a, -29 para sa b, at -42 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

I-square ang -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -4 times 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

I-multiply ang -20 times -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Idagdag ang 841 sa 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Kunin ang square root ng 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Ang kabaliktaran ng -29 ay 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

I-multiply ang 2 times 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{29±41}{10} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 29 sa 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

I-divide ang 70 gamit ang 10.

$$x=7$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{29±41}{10} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 41 mula sa 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Bawasan ang fraction \frac{-12}{10} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Idagdag ang 42 sa magkabilang dulo ng equation.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Kapag na-subtract ang -42 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

I-subtract ang -42 mula sa 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Kapag na-divide gamit ang 5, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

I-divide ang -\frac{29}{5}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{29}{10}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{29}{10} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{29}{10} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Idagdag ang \frac{42}{5} sa \frac{841}{100} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Idagdag ang \frac{29}{10} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$