Lutasin ang 45x^2-39x-18=0

$$45 x ^ { 2 } - 39 x - 18 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 3.

$$15x^{2}-13x-6=0$$

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 15x^{2}+ax+bx-6. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-13 ab=15\left(-6\right)=-90$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -13.

$$a=-18 b=5$$

I-rewrite ang 15x^{2}-13x-6 bilang \left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right).

$$\left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right)$$

Ï-factor out ang 3x sa 15x^{2}-18x.

$$3x\left(5x-6\right)+5x-6$$

I-factor out ang common term na 5x-6 gamit ang distributive property.

$$\left(5x-6\right)\left(3x+1\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 5x-6=0 at 3x+1=0.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 45 para sa a, -39 para sa b, at -18 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

I-square ang -39.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

I-multiply ang -4 times 45.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-180\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

I-multiply ang -180 times -18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521+3240}}{2\times 45}$$

Idagdag ang 1521 sa 3240.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{4761}}{2\times 45}$$

Kunin ang square root ng 4761.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±69}{2\times 45}$$

Ang kabaliktaran ng -39 ay 39.

$$x=\frac{39±69}{2\times 45}$$

I-multiply ang 2 times 45.

$$x=\frac{39±69}{90}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{39±69}{90} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 39 sa 69.

$$x=\frac{108}{90}$$

Bawasan ang fraction \frac{108}{90} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 18.

$$x=\frac{6}{5}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{39±69}{90} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 69 mula sa 39.

$$x=-\frac{30}{90}$$

Bawasan ang fraction \frac{-30}{90} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 30.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Idagdag ang 18 sa magkabilang dulo ng equation.

$$45x^{2}-39x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kapag na-subtract ang -18 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$45x^{2}-39x=-\left(-18\right)$$

I-subtract ang -18 mula sa 0.

$$45x^{2}-39x=18$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 45.

$$\frac{45x^{2}-39x}{45}=\frac{18}{45}$$

Kapag na-divide gamit ang 45, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 45.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{45}\right)x=\frac{18}{45}$$

Bawasan ang fraction \frac{-39}{45} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{18}{45}$$

Bawasan ang fraction \frac{18}{45} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 9.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{2}{5}$$

I-divide ang -\frac{13}{15}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{13}{30}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{13}{30} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{13}{30} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{2}{5}+\frac{169}{900}$$

Idagdag ang \frac{2}{5} sa \frac{169}{900} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{529}{900}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{529}{900}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{900}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{13}{30}=\frac{23}{30} x-\frac{13}{30}=-\frac{23}{30}$$

Idagdag ang \frac{13}{30} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$