Lutasin ang 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

I-solve ang x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Mga Hakbang Gamit ang Factoring Ayon sa Grouping

Para i-solve ang equation, i-factor ang kaliwang bahagi ayon sa grouping. Dapat munang isulat ang kaliwang bahagi bilang 42x^{2}+ax+bx-3. Para mahanap ang a at b, mag-set up ng system na iso-solve.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Dahil negative ang ab, magkasalungat ang mga sign ng a at b. Dahil negative ang a+b, mas malaki ang absolute value ng negative na numero kaysa sa positive. Ilista ang lahat ng naturang pares ng integer na magbibigay ng product na -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Kalkulahin ang sum para sa bawat pares.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Ang solution ay ang pair na may sum na -5.

$$a=-14 b=9$$

I-rewrite ang 42x^{2}-5x-3 bilang \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

I-factor out ang 14x sa unang grupo at ang 3 sa pangalawang grupo.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

I-factor out ang common term na 3x-1 gamit ang distributive property.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Para mahanap ang mga solution sa equation, i-solve ang 3x-1=0 at 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Mga Hakbang sa Paggamit ng Quadratic Formula

Ang lahat ng equation na may anyong ax^{2}+bx+c=0 ay maaaring lutasin gamit ang quadratic formula: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ang quadratic formula ay nagbibigay ng dalawang solution, isa kapag ang ± ay addition at isa kapag ito ay subtraction.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Ang equation ay nasa standard form: ax^{2}+bx+c=0. I-substitute ang 42 para sa a, -5 para sa b, at -3 para sa c sa quadratic formula, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

I-square ang -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

I-multiply ang -4 times 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

I-multiply ang -168 times -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Idagdag ang 25 sa 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Kunin ang square root ng 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Ang kabaliktaran ng -5 ay 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

I-multiply ang 2 times 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±23}{84} kapag ang ± ay plus. Idagdag ang 5 sa 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Bawasan ang fraction \frac{28}{84} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ngayon, lutasin ang equation na x=\frac{5±23}{84} kapag ang ± ay minus. I-subtract ang 23 mula sa 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Bawasan ang fraction \frac{-18}{84} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Nalutas na ang equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Mga Hakbang sa Pagkukumpleto sa Square

Ang mga quadratic equation gaya nito ay maaaring i-solve sa pamamagitan ng pagkumpleto sa square. Para makumpleto ang square, ang equation ay dapat munang nasa anyong x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Idagdag ang 3 sa magkabilang dulo ng equation.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kapag na-subtract ang -3 sa sarili nito, matitira ang 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

I-subtract ang -3 mula sa 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

I-divide ang magkabilang dulo ng equation gamit ang 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Kapag na-divide gamit ang 42, ma-a-undo ang multiplication gamit ang 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Bawasan ang fraction \frac{3}{42} sa pinakamabababang term sa pamamagitan ng pag-extract at pag-cancel out sa 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

I-divide ang -\frac{5}{42}, ang coefficient ng x term, gamit ang 2 para makuha ang -\frac{5}{84}. Pagkatapos ay idagdag ang square ng -\frac{5}{84} sa magkabilang panig ng equation. Kapag ginawa ang hakbang na ito, magiging perfect square ang kaliwang panig ng equation.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

I-square ang -\frac{5}{84} sa pamamagitan ng pagse-square sa numerator at denominator ng fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Idagdag ang \frac{1}{14} sa \frac{25}{7056} sa pamamagitan ng paghahanap ng common denominator at pagdadagdag sa mga numerator. Pagkatapos ay ibawas ang fraction sa lowest terms nito kung posible.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

I-factor ang x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. Sa pangkalahatan, kapag ang x^{2}+bx+c ay perfect square, maaari itong palaging i-factor bilang \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Kunin ang square root ng magkabilang dulo ng equation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Pasimplehin.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Idagdag ang \frac{5}{84} sa magkabilang dulo ng equation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$